9. Complex Number

Complex Number

머리말

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…저 죽을 것 같으니까 이번엔 좀 간단하게 가겠습니다…

결국 -업적 :응급실가서 천장사진 찍기- 깼습니다.

복소수 대수

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복소수의 구성요소와 덧셈/곱셈 연산에 대해 정리

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복소수(Complex Number)

두 실수의 순서쌍에 의한 수

표현법은 두가지가 있는데,

두 실수의 순서쌍 (a,b)

실수와 허수의 합 a+bi

로 표기합니다.

복소수의 구성요소

허수(imaginary number) 단위

$$i^2 = -1$$

복소수의 덧셈

복소수의 곱셈

켤레복소수, 노름을 사용해 덧셈과 곱셈의 항등원 정리(?)

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…..???????????

켤레복소수, 노름을 사용해 덧셈과 곱셈의 항등원 정리 곱셈의 역수 정리 라고 이해하겠습니다..

왜냐하면 덧셈의 항등원과 곱셈의 항등원은 그렇게까지 안가도 되거든요.

덧셈의 항등원 (Additive Identity)

$$(a+bi)+(c+di)=(a+bi)\\ \therefore c+di=0$$

곱셈의 항등원(Multiplication Identity)

$$(a+bi)\cdot(c+di)=(a+bi)\\ \therefore c+di=1+0\cdot i=1$$

항등원이 나왔으면 역원도 나와야겠죠.

덧셈의 역원(Additive Inverse)

$$(a+bi)+(c+di)=0\\ \therefore c+di=-a-bi=-(a+bi)$$

곱셈의 역원(Multiplication Inverse)

하지만 곱셈의 역원은 그렇게 호락호락하지 않습니다.

허수부를 지워줘야하기 때문인데요, 그걸위해 설명해야할 것들이 있습니다.

자 그러면 먼저 두개부터…

켤레복소수 (Complex Conjugate)

허수부의 크기만 반대로 한 값입니다.

표기법은 두가지가 있는데,

$$z^* : \text{물리학 선호} \\ \bar{z} \text{ : vinculum,괄선, 순수수학 선호}$$

전 그냥 수학에서 쓰듯 쓰겠습니다.

$$z = a+bi \space , \bar{z}=a-bi\\ z\cdot \bar{z}=a^2+b^2$$

크기(노름, Norm)

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

곱셈의 역원(Multiplication Inverse, Reciprocal)

딱봐도 제곱의 덧셈 형태가 나는 두개가 있죠? 네. 그걸 사용합니다.

제곱하면 거나 여나 똑같다 라는걸 사용하는거죠.

$$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\cdot \bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}$$

풀어보면, 중학교때 배우던 곱셈공식으로 묶어서 허수부 제곱을 실수화하며 부호를 돌려주면, 짠

$$\frac{a-bi}{a^2+b^2} \cdot a+bi = \frac{a^2-(bi)^2}{a^2+b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2} = 1$$

어때요 참 재미있죠?

단위 복소수의 정의, 단위 복소수의 곱셈의 항등원의 형태

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단위복소수 : 크기(노름)이 1인 복소수

즉 기하학의 벡터에서 단위벡터를 생각하면 편합니다.

성질역시 비슷하죠.(Im = imaginary(허수), Re = Real(실수))

$$z=(cos\theta, sin\theta),|z|=1 \\ \because cos^2\theta+sin^2\theta=1$$

단위복소수의 곱셈의 항등원

엥? 이건 다른게 없죠. 단위 복소수의 곱셈의 항등원 역시 1입니다.

아까 구했던 곱셈의 역원식에 대입하여 곱해볼까요?

$$\frac{cos\theta-(sin\theta)i}{cos\theta^2+sin^2\theta} \cdot cos\theta+(sin\theta)i = \frac{cos\theta^2-((sin\theta)i)^2}{cos\theta^2+sin^2\theta} = \frac{cos\theta^2+sin^2\theta}{cos\theta^2+sin^2\theta} = 1$$

그러므로 단위복소수의 곱셈의 항등원 역시 1이 됩니다.

단위복소수의 곱셈의 역원

여기가 재미있어요.

크기(노름)이 1이여야하기에 값은 코사인제곱과 사인제곱의 형태로 나타낼 수 있게 됩니다.

그렇게 분모가 소거(=1)되면 분자, 즉 켤레복소수만 남게 되죠.

$$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{cos\theta-sin\theta i}{cos^2\theta+sin^2\theta } = cos\theta-sin\theta i$$

즉 단위복소수의 곱셈의 역원은 켤레복소수입니다.

복소 평면

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복소수를 시각적으로 어떻게 평면으로 표현하는지 그 방법을 기술하시오

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수 직선으로 표현한 그 선과 직교하는 하나의 축을 만들어

하나의 평면을 이루는 ‘복소평면’으로 나타내는 것입니다.

유클리드공간의 데카르트좌표계(Cartesian Coordinate System)을 생각해본다면 조금 더 쉽죠.

이제 그렇다면 실수부를 x, 허수부를 y로 둬서 순서쌍으로 나타낼 수 있게 됩니다

$$a+bi = (a,b)$$

복소 평면에서 단위 복소수들의 집합은 어떻게 표현되는지 정리하고, 삼각함수와 각을 사용해 단위 복소수를 표현하시오.

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간단합니다.

단위복소수의 집합

이건 결국 크기가 1인 값의 집합이므로 원이 되겠죠?

그러므로

삼각함수와 각을 사용한 복소수 표현

은 다음과 같이 정의할 수 있습니다

$$z = (cos\theta,sin\theta)\\ z=cos\theta + sin\theta i$$

어떤 복소수에 허수단위 i를 네 번 곱하면 원위치로 돌아옴을 정리

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수식적으로,

$$i^2 = -1, (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$$

입니다.

이걸 복소평면으로 본다면

$$1 = 0\degree \space and \space i = 90\degree$$

그리고 복소수의 곱셈은 회전을 적용시킨다와 같으므로

$$i^4 = i \cdot i \cdot i \cdot i = 360\degree =0\degree$$

입니다.

어떤 복소수와 단위복소수의 곱은 회전 변환이 됨을 정리하시오.

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어떤복소수 x + yi 가 있을 때, 이것과 단위복소수 cosA+sinBi를 이항연산한다고 가정합니다.

$$(x,y) \cdot (cos\theta,sin\theta)\\ (xcos\theta-ysin\theta, xsin\theta+ycos\theta)$$

그리고 회전변환을 생각해 봅시다.

$$\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xcos\theta -ysin\theta \\ xsin\theta +ycos\theta \end{bmatrix}$$

굳!

또한 어떤 단위복소수와 단위복소수의 곱은,

삼각함수의 덧셈정리에 의해

$$(cos A+(sin A)i)(cos B + (sin B)i) = \\ (cos A cos B - sin A sin B)+(sinAcosB+cosAsinB)i=\\ cos(A+B) + (sin(A+B))i$$

라고 볼 수있겠네요. 회전변환과 동일하죠?

임의의 복소수간의 곱은 어떤 변환을 만들어내는지 정리

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단위복소수의 곱셈은 단위벡터를 가진 회전변환과 동일합니다.

그렇다면 단위복소수가 아닌 것은?

행렬로 친다면 기저벡터가 단위벡터가 아니라고 생각하면 되니,

행렬의 변환을 두 개로 나누어, 회전과 크기의 행렬곱으로 나타낼 수 있음을 생각한다면

즉 임의의 복소수간의 곱 역시 회전 및 스케일링한 것과 같겠죠?

그러면 임의의 복소수 간의 곱은 크기 및 회전 변환입니다.

단위벡터가 아닌 벡터로 구성된 행렬로의 변환처럼요.

수의 곱셈이란 어떤 작업을 하는지 자신의 생각을 정리하시오

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결국 곱셈은 공간의 변화를 적용하는 것입니다.

예전에는 실수에 대한 수 직선만이 존재하여, 그 수에 대한 크기만 적용이 되었다면,

이제 허수의 수 직선이 추가적으로 존재하게 되어 그 직교에 의한 회전이 발생하게 됩니다.

어떤 복소수와 그 켤레 복소수를 곱하면 노름의 제곱이 된다. 시각적으로 어떤 과정을 거쳐 노름의 제곱이 되는지 정리하시오.

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$$let, z\cdot \bar{z} = (a,b)\cdot(a,-b).\\ (a,b)\cdot(a,-b)=(a^2+b^2,-ab+ab)=(a^2+b^2, 0)\\$$

그림으로 정리하면 아래와 같습니다.

오일러의 공식 #1

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…이거결국 $e^{jθ} = cos θ + j\space sin θ$ 하고싶어서 하는거죠..?

무리수 e (네이피어 수, 오일러 수)

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오일러 수 혹은 자연상수인 e는 2.71828과 같은 값을 가지고 있는 무리수입니다.

복리 계산에서 많이 들어가죠.

표현방법으로는 두가지가 있는데, 급수를 통한 방법 및 극한을 통한 방법이 있습니다

$$e = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{1}{n!} = 1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot2}+\cdot\cdot\cdot$$ $$e =\lim_{n\rightarrow \infin}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$$

무리수 e를 도출하기 위한 극한의 개념을 정리하시오.

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여기서 극한의 개념을 알아보겠습니다.

극한을 직관적으로 정의하자면

$$\lim_{x\rightarrow a}{f(x)} = L$$

다음과 같은 식에 대해, x가 a에 한없이 가까워질 때, 함수값 f(x)가 어떤 극한값 L이 됨

이라고 볼 수 있습니다.

어떤예시가있을까요? 수렴하는것들이 있고, 롤의 방어력이 있겠네요.

롤의 방어력은 아무리 많이 올린다고 하더라도 100%의 데미지 감소율이상 올라갈 수 없습니다.

혹은 리스크오브레인2 에서의 곰탱이 인형은 1개당 15%확률의 데미지 감소를 갖지만 아무리 많이먹어도 100%를 초과할 수 없습니다. 100%에 수렴한다고 봐야겠죠.

곰

곰

그렇기때문에 어떤 값으로 나아가는 네이피어수(e)에게는 극한을 쓴다면 쉽게 이해할 수 있죠.

그래서 기존의 급수를 극한으로 표현하자면, 다음과 같이 나타낼 수 있는 것입니다.

$$e =\lim_{n\rightarrow \infin}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$$

지수 함수의 성질과 0승과 -승이 가지는 규칙을 정리하시오.

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지수함수가 무엇인지 부터 봐야겠죠.

$$f(x) = a^x$$

변수를 지수로 두는 함수를 지수함수라 합니다.

0승의 규칙

이때, 지수가 0이며, 밑이 0이 아닐 때 1의 값을 갖습니다.

지수가 0이면 0번 곱했다는 뜻이므로 곱셈의 항등원 1을 갖는 것이죠.

$$a^m\cdot a^0=a^{m+0}=a^m$$

-승의 규칙

그리고 지수가 0 미만, 즉 -를 갖게 되는 순간 재미있어집니다.

어 음수번 곱하였다는건, 반대로 적용했다고 생각하니, 역행렬같은 느낌 아닐까요?

그리고 역행렬 $A^{-1}$ 이 기억나시나요? 네 맞습니다.

$x^{-1} = \frac{1}{x}$ 인 것입니다…!

$$if,m>0\\a^m\cdot a^{-m}=a^{m-m}=a^0=1\\ a^{-m} = \frac{1}{a^{m}}$$

1보다 큰 밑을 가지는 자연지수함수 \( f(x)=e^x \) 가 가지는 성질요약

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일단은 일반적인 값을 먼저 설명을 하자면,

$$f(0) = 1 \\ f(1) = e\\ \lim_{x\rightarrow -\infin}{f(x)} = 0\\ \lim_{x\rightarrow \infin}{f(x)} = \infin\\$$

입니다.

하지만 지수 함수에서 재미있는 부분은 저런게 아니라,

지수함수의 도함수가 함수의 값(높이)과 똑같다는 부분인데요,

임의의 점에서 접선을 긋고, 접선이 x축과 닿는 길이가 언제나 1이라는 소리입니다.

그러나 이걸 알려면 접선과 미분, 도함수를 알아야겠군요……………

극한의 개념을 사용한 접선의 개념을 설명

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접선

일반적으로 접선은 곡선과 직선이 한 점에서 만날 때,

이 점을 접점이라 하며 동시에 곡선에 접하는 직선을 접선이라고 합니다.

할선

또한 곡선과 직선이 두 점에서 만날 때,

곡선을 자르게 되는 이 직선을 곡선의 할선이라고 합니다.

그런데 만약 이 할선의 두 점의 변위를 만약 최대한 줄인다면 어떻게 될까요?

이걸 수학적으로 말해본다면, 기울기 m, 임의의 값 a에 대해

$$let, h = displacement(point_1,point_2)\\ m = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\$$

라고 볼 수 있습니다.

따라서 극한의 개념으로 본다면 접선은 두 점의 거리가 0인, 할선이라고 봐도 무방하겠죠.

미분 계수와 도함수의 차이에 대해 설명하시오.

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미분계수

이건 저희가 초등학교때부터 해왔던 거리 - 속력 - 시간 관계 및 가속력을 생각하면 편합니다.

거리를 아주 짧은 시간단위로 쪼개면, 즉 미분하면 속력이며, 속력을 미분하면 가속력이 나오죠.

즉 미분계수는 평균 변화율에서 어느지점으로 접근할 때의 순간변화율, 접선의 기울기라고 볼 수 있습니다.

도함수

도함수는 각 점에서의 접선의 기울기 즉, 미분계수를 매 위치마다 순간 변화율로 보고, 이를 함수로써 나타낸 것을 말합니다.

수학적으로 말하면 미분계수가 존재하는 모든 점을 정의역으로 하는 함수죠.

원소와 집합의 개념이라고 생각합니다.

끝내며

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다음 주는 수술입니다.

과연 저는 다음 주에도 수학 과제를 해낼 수 있을까요?